這個具體例子極有可能是沒有用的。其他任何具體示例也是如此。但是，有許多這樣的例子，我們不知道其中有多少會有用。一些人詳細研究了恆星的運動，遠遠超出了日曆和導航的需求。這也被證明是有用的。

許多研究也導致了死胡同。當時，誰也說不清。

繁忙的海狸函數是可計算性理論的重要組成部分，尤其是（漸近地）它比任何可計算的函數增長都快。從直覺上講，這意味著它比所有可計算序列都要“難”計算。

因此，它提出了一種新的窮舉證明方法。假設您要編寫一個圖靈機程序P來測試所有可能的證明特殊情況（可能是無數個情況）。如果程序發現證明有問題，則它將停止。否則，它將永遠運行。根據繁忙的海狸機器的定義，如果圖靈機P停止，那麼它將比具有相同狀態數的繁忙的海狸機器更快地停止。因此，我們要做的就是證明我們的定理是將程序運行指定的步數，如果它在繁忙的海狸機器之前沒有停止運行，那麼我們可以保證它永遠不會停止，並且確實可以

使用此事實在當前的計算機硬件上不可行，但這很少成為此類研究的障礙。如果我們對計算機硬件或軟件的概念進行了革新，並且可以完成這樣的任務，那麼這將是證明或反證許多領域中許多懸而未決問題的系統方法。這種研究的目的之一是激發新的問題，而不是提供新的答案。

特別是在計算S（5）時，挑戰是基礎研究挑戰。純粹的研究是關於解決從未解決的問題，而不是具有某些出色的應用。尚未有人設計出一種計算S（5）的方法，並且由於該序列不可計算，因此可能無法有效地計算此數字。能夠計算它，或者給出為什麼不能計算的原因，可能是可發布的結果-兩者都很困難，而且以前都沒有做過。

作為一個實踐練習，它是可計算性理論的良好應用，並且是停止問題的對策。停止問題向我們顯示，沒有哪個算法可以告訴我們任意程序是否停止，但是通常可以確定特定程序是否將停止。對S（3）和S（4）的分析需要專家進行深入分析，以確定某些具有3和4狀態的圖靈機是否實際上停止了運行。對於S（5）而言，這實際上是不可能的，因此要解決此問題，需要詢問其他問題，例如“我們可以確定哪些類的程序停止運行？”。

要更清楚地了解這一點，請嘗試麻省理工學院的 Scott Aaronson的博客文章。他的一個學生證明了第8000個忙碌的海狸數量是標準集理論所不知道的。即使給定無限的時間和空間，數學和邏輯也無法計算該數字。這是一個非常明顯，非常深刻的問題，沒人能回答：為什麼為什麼我們可以相對輕鬆地了解S（1），S（2），S（3）和S（4）？我們是否可以知道S（5），並且可以肯定地說我們不知道S（8000）？如果您能告訴我們答案，那麼您將受到很多聰明人的注意。努力完成計算S（5）的工作是了解這一點的一個步驟。

S（8000）是該序列中第一個不可知的此類元素嗎？如果沒有，最小的元素是什麼？

兩個注意事項：我不是理論家，所以所有這些都是我的解釋。撒一粒鹽。其次，一個更好的解決方案是計算機科學堆棧交換。他們喜歡那裡的東西。

讓我猜一猜，這種情況可能不准確，但范圍更廣。

如果嘗試用蠻力計算S（5），那可能不比用計算機用蠻力解決任何給定的數獨有趣（但更長）。但是，這樣一個問題的重點恰恰在於，很難，如果有人希望回答這個問題，就需要嘗試變得聰明。與蠻力方法相比，人們需要找到一種明智的方法以能夠跳過盡可能多的計算。在此過程中，您可能會學到一些有關的對象（例如圖靈機）並更好地理解它們。我們還必須對實現的細節，多線程等等保持精明。

我們選擇登月。我們選擇在這個十年中去月球做其他事情，不是因為它們容易，而是因為它們很難，因為這個目標將有助於組織和衡量我們最好的精力和技能，因為這一挑戰是一個挑戰我們願意接受的，我們不願推遲的，我們打算獲勝的一個以及其他。 （JFK 1962）

像這樣的研究傾向於打開大門。您永遠都不知道將來會在這些發現之上建立什麼發現。許多重要的現代發現都來自當時似乎沒有實際用途的研究。

因此，除了“獲得純知識”帶來的好處外，它還具有真正的實際好處-特別是如果您根據與之相關的內容來確定要資助或探索的目標。就像投資初創企業的投資者一樣。並不是每個想法都能走到任何地方，但是得到支持，一定比例的人將會……並且有少數人會改變世界。目的-查一下赫茲的實際用途。他能預見到每個口袋，無線電緊急救援隊和協調工作人員，手機，衛星導航，雷達，微波爐，遠程太空任務和探索性照相機，Google Earth和WiFi的無線電媒體世界，他會想到嗎？

Ditto量子理論-肯定討論了不僅原子而且還有夸克和較小粒子的奧術概念，更不用說假設它們可以做奇怪的事情，例如存在於不同地方或同一地方不存在時間是關於原子和假設的較小子粒子的無用假設辯論，這些子粒子太小而與日常生活無關（如果有的話）。快進50年-半導體。超級磁鐵。超導體。醫院的MRI掃描儀。您的智能手機。海底電纜。激光。 CD / DVD /藍光。互聯網。如今，幾乎每種計算設備和光纜都得到了廣泛使用。使用（或需要考慮）量子隧道和其他怪異行為的任何其他事物。

在琥珀上摩擦絲綢的奇怪裂痕（電），由橢圓形式和模實體（模定理和費馬）生成的看似隨機數序列，對數和三角數值表（製表法使用-計算機時代的數學家，對某些人來說似乎毫無意義，但如果沒有他們，開普勒，伽利略，牛頓和其他人將無法做到他們所做的所有發現？）毫無用處且費力的工作，直到您快速了解遺傳學，了解DNA，基因治療，抗病水稻，線粒體疾病治療以及遺傳在人類歷史上開始顯得更為重要時為止。

在數學上，同樣如此。一個區別是您有時不得不計算數據，而不僅僅是觀察數據。但是原理很相似，影響也是如此。

有識之士也很可能認為這是一個“有趣”的問題，這個問題可能並非完全是死胡同或以某種方式與其他棘手的問題聯繫在一起。

我得出結論，在搜索這些數字S（n）時，實用或理論價值為零：n> 5。

也許是錯誤的。歐幾里德（Euclid）於2000年開始研究素數，直到幾十年前，它們才得到具體應用（密碼學）。

無論如何，如果您正在尋找一個真正的答案，我建議您閱讀一些有關該主題的論文。維基百科頁面列出了一些。

我完全同意聽眾中的數學家和物理學家的觀點，他們指出，過去純數學有時會帶來重要的實踐進展。儘管這種情況很少發生，但絕對不可能提前知道哪種寶石將是稀有的，因此，如果您想有機會，就必須資助大量最終無用的研究（或更準確地說，是迄今為止無用的研究）找到所說的寶石。作為工程師，我對過去的許多寶石都很熟悉，並且即使沒有發生也無法完成我的工作。我當然既沒有技能也沒有氣質來親自找到這些發現！

說，，作為工程師，還有一個方面要考慮：建造超級計算機很難。構建計算機來執行此操作的簡單工程實踐可能會導致改進和發現本身，即使沒有，也可以為該工程提供資金，這意味著您將擁有更多擁有更多從事此類工作的經驗的人員。這很重要，而且經常被忽視。

最近有關航空堆棧交換的問題問到，為什麼現代軍用飛機的生產時間要比幾十年前的軍用飛機長（畢竟，這些飛機也有要使用新的基礎並使用更多基本工具來解決極端困難的挑戰，時間差將近一個數量級。當然，有很多原因，但是這個答案特別是通過強調擁有一支經驗豐富的工程人員隊伍的重要性而對我特別突出：

經驗豐富的工程師當時，他曾研究過十幾種（或更多）新設計，因此他們開發出了一種直覺，即如何設計下一個。如今，很幸運能在一生中把一個人帶入空中。

該回答者講述了他實際上是如何遊說公司進行快速，廉價的設計，只是為了給工程師更多的實踐經驗和更多的現實世界設計經驗，擁有更好的工程師將是完全人工的代價。練習（這個項目沒有亮起綠色就不足為奇了。）

更多的人建造了一台超級計算機的事實是否等於他們這樣做的成本？我不知道，但這是不可忽略的事情，應在成本效益分析中予以考慮。特別是從一個國家的角度來看，擁有一個熟練的工程師對一個國家來說是一個明顯的優勢，我懷疑很少有人會反對稅收的一般概念，因為這些概念會導致擁有更好的工程師。

按照定義，科學不是要擁有價值。

科學是關於積累和組織知識。

這不僅適用於忙碌的海狸問題，還適用於Pi的位數，歐拉數的位數，物理學中的弦理論以及脆弱的兩棲無性生殖器。

即使理論上的問題沒有應用（尚未），解決該問題的技術和沿途獲得的知識也可能具有巨大的價值，甚至在看似無關的領域中也可能是有用的。可以看看數學的歷史作為例子。

除此之外，我還將添加一個潛在的應用來解決繁忙的海狸問題： 所羅門諾夫歸納法。簡而言之，所羅門諾夫（Solomonoff）歸納法是根據歸納假設的通用歸納推理理論，該假設根據產生它們的圖靈機的大小進行加權。人工智能通用理論的形式形式如 AIXI就是基於它的。

解決忙碌的海狸問題也與歸納編程（自動構建）有關計算機程序）和自動定理證明，因為它涉及任意計算機程序的證明屬性（例如，暫停或不暫停）。例如，請參見計算機運行時和證明的長度。

用另一種觀點來擴展答案：可計算性理論提出的基本問題是：“給定一些簡單，合理的假設並給定可以在物理宇宙中實例化的機器模型，哪種函數是可計算的？” （我的意思是理論上“實例化”，當然有一些警告）。

因此，如何看待可計算性和計算複雜性理論的一種方法是將它們視為與某些基本屬性有關世界的。給定標準的物理模型，為什麼有些函數是可計算的，而有些則不能計算？在宇宙的生命中什麼是可計算的，什麼不是？是什麼使量子計算機成為​​可能，其極限是什麼？如果物理稍有不同，我們可以期待什麼樣的計算機？為了使超計算成為可能，需要做出什麼樣的假設？

因此，這些理論可能旨在揭示與理論物理學一樣深入和基礎的東西。在這種類比下，可以將關於某些深奧粒子性質的單個特定實驗與對參數“ 5”的Busy Beaver函數是否可計算的研究進行比較。它對事物的某些基本性質提供了一些見識。

《忙碌的海狸》問題/遊戲提供了一個非常切實的應用，它有助於確定大量小型圖靈機的停止時間，這些圖靈機又用於計算經驗值。分佈作為所謂的通用分佈的近似值，該分佈允許估算字符串的算法概率（即使用隨機計算機程序生成字符串的概率，該隨機計算機程序的可執行位是例如拋硬幣的結果）。 / p>

這種分佈在過去被稱為“奇蹟般的”（Google奇蹟般的普遍分佈）。這是因為其作為最強大的通用預測器的理論特性。在我與幾個傑出研究人員的幫助和協助下共同領導的算法小組和算法動力學實驗室的工作中，繁忙的海狸為產生算法概率的這些數值近似做出了貢獻，並在諸如動物等領域產生了影響以及人類的認知，圖的複雜性，進化生物學，人工生命和分子生物學。這裡有一些指針（只有2個帶有URL，因為Academia不允許我添加更多鏈接，其他的則可以通過Google鏈接）：

• 從算法上講，可能的突變再現了進化的某些方面，例如收斂速度，遺傳記憶，模塊性，多樣性爆炸和大規模滅絕
• 25歲時人類行為複雜性峰值（媒體對此進行了大肆宣傳，YouTube上有一個視頻以一種非常簡單，過於簡化的方式解釋了結果。
• 信息論和算法複雜性的方法自同構群大小和拓撲屬性與圖和復雜網絡的程序大小複雜度評估的NetworkBiology相關性

反過來，這項研究也觸發了理論家也要更新他們的工作！例如這篇論文：

• 隨時可能的暫停算法

在許多其他問題中，包括《物理學》，《圖複雜性》，《細胞與發育生物學研討會》論文

是因為“忙碌的海狸”與算法信息論中的概念緊密相關，例如Chaitin Omega數和所謂的Solomonoff's-Levin分佈（請參閱Scholarpedia）

因此，在最緊迫的科學問題的背景下，從完全理論上的“遊戲”一直到現實世界中的應用！

複數理論項目通常會獲得批准，因為它們可能具有一些加密方面的好處。關於單向函數和計算的許多工作已經完成，需要大量的計算機資源。一個具體的例子是RSA公鑰密碼術中使用的有限域中素數的模數。

此外，密碼學的許多研究都是分類的。此項目可能被批准的原因可能只有研究人員和批准該項目的人員才知道。

一些研究可能會在其姊妹領域開闢不可預見的機會。實施非常高效的繁忙海狸系統（因為這非常耗時）可能會對其他一些重要的模擬產生影響。我並不是說繁忙的海狸問題沒有任何價值，但其他人已經很好地指出了這些問題。

這種交叉利益也發生在開源系統中。我清楚地記得，為提高Android設備的電池壽命而在Linux上進行的研究已導致在運行Linux的超級計算機上節省了大量成本，因為它們的主要成本是電費。