題:
研究中不可接受的定理
BCLC
2018-08-29 19:18:52 UTC
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我的一個工程學朋友告訴我，由於住院，他曾經不得不參加一次化妝微積分考試，所以我自學了許多錯過的話題。對於化妝考試，他使用了L'Hôpital的法則，儘管直到1或2次考試之後我們才被教導。我的朋友告訴我，教授寫道

“您尚未被允許使用L'Hôpital規則。”

因此，我想說的是L'Hôpital在那項考試中的規定是 不可接受的。

現在，如果您是學生 strong，那絕對有道理>不允許​​您使用未來主題中的命題，定理等，尤其是對於將來的課程，尤其是對於像微積分I這樣的基本事物。調整專業也很有意義：當然，數學專業不應該允許在微積分I或II的同學中使用離散數學或線性代數中的主題，以使其業務，環境科學或工程學（在我的大學中，線性代數晚於我的數學專業的學生）獲得優勢。

但是在完成了學士，碩士和數學博士學位課程後，您不僅是學生，而且是 研究人員：說，您正在做數學博士論文，甚至在你之後已經完成博士學位。

數學研究有什麼不允許的嗎？

我無法想像您還有什麼要證明，然後找到一些可以幫助證明某事的論文，然後去找您的顧問，然後他會告訴您：“您尚未被允許使用Poincaré定理”，或者被證明是正確的東西12年前：“您尚未被允許使用 Cauchy的微分公式”。

實際上，外部數學（例如物理學或計算機科學）如何？

我會說，由於住院，L'Hopital的規則應該是公平的遊戲。
評論不作進一步討論；此對話已[移至聊天]（https://chat.stackexchange.com/rooms/82520/discussion-on-question-by-bclc-inadmissible-theorems-in-research）。請不要在評論中發布答案。如果您想在考試情況下討論禁止使用L'Hôpital規則的做法，請聊天。在發布其他評論之前，請閱讀[this FAQ]（https://academia.meta.stackexchange.com/q/4230）。
十六 答案:
Federico Poloni
2018-08-29 22:31:52 UTC
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數學研究有不允許的東西嗎？

不是，但是即使在研究中，嘗試不使用Y來證明X 仍然是一個非常有用的概念，因為它可以引起有趣的概括，或者可以應用到更多問題的新證明技術。

例如，在某種意義上，Lebesgue積分是“公正的”，試圖在不使用 f 連續性的情況下證明積分的性質，或者擬陣理論是“公正的”試圖證明線性獨立向量的性質而又不使用向量空間結構中的許多性質。

因此，如果您要記住的話，這絕不是毫無意義的練習。

這是一個很好的答案。有一個非常廣泛的現象可以解釋為“約束滋生了創造力”。例如。人們編寫haiku已有八百多年的歷史了。但是“創造性約束”的本質之一是它們很大程度上是“自我強加”的。
@PeteL.Clark就像需要發明的母親一樣嗎？感謝PeteL.Clark和Federico Poloni！
對Federico Poloni Cc @PeteL.Clark而言，除了理論實例外，答案與jakebeal有何不同？
為什麼在“是”周圍加引號？
@KonradRudolph因為可以簡單地說Lebesgue積分只是沒有連續性的積分理論。分析師可能會反對它。
@FedericoPoloni我對標點符號的使用不熟悉，我不認為這是常識。我認為您可能是想寫“ Lebesgue積分是'只是'試圖證明...”，它使用了更常規的標點和語法來表達我想表達的內容。
@KonradRudolph當然，沒問題。隨時進行編輯。
@KonradRudolph FWIW，我認為原文很好，儘管我沒有強烈的偏愛。（母語是英語的人）
極好的答案。但是，對於這個問題，我想說考試任務中任何這樣的約束都需要明確說明。例如。我們的考試規則大致如下：“您可以直接使用此列表中的所有內容，而您需要的其他任何內容都必須從該列表開始。”恕我直言，即使在講座開始之前已經說明過這些規則，也應該提醒學生。（我認為不將其作為不良考試題的一種形式，即學生只有在正確猜出講師所講的概念後才能獲得滿分）
不過，需要注意的重要一點是：我認為使用較少的假設或公理來證明結果與“假裝”不知道定理是假設的結果有很大的區別。禁止l'Hopital假設平均值和壓縮定理等更強的結果，但定義不明確（我的解決方案的第一個引理只是l'Hopital的證明），而且收益可疑。
@PeteL.Clark甚至還有[相關的XKCD]（https://xkcd.com/1045/）。
我參加了基於數學歷史的證明課程。當所有的微積分和三角學都被禁止時，我們花費了大量時間尋找可以用現代微積分和三角學輕鬆實現的事物的證明。
@NicHartley必然是發明之母嗎？
jakebeal
2018-08-29 19:38:37 UTC
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就您的要求而言，我無法想像有一種方法被裁定為不可接受，因為研究人員“還沒有為此做好準備”。每種智力方法都可能是公平的遊戲。

但是，如果一件作品的特定目標是找到一種替代方法來建立某些東西，那麼很可能會排除一種或多種先前方法。範圍，因為它將假定您要通過另一個獨立路徑建立的結果。例如，常數 e 是通過多種方式得出的。

最後，一旦您脫離了純理論並進入了實驗工作，則還必須考慮實驗的倫理學。方法。由於實驗的不良性質，許多潛在的方法被認為是不可接受的。在極端情況下，例如納粹醫學實驗，甚至參考先前的工作也可能被認為是不可接受的。

嗯，您的意思是說，如果您想說[概率概率地證明傅立葉反演公式]（https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715218302153），則您想要避免聽起來像您自己的事情已經知道它是傅里葉反演公式的證明，因為那樣做會得出不同的證明？或類似[我的問題在這裡]（https://math.stackexchange.com/questions/2895930/prove-cyclic-subgroup-has-n-distinct-elements-langle-x-rangle-1-x-x2/2895931＃comment5981035_2895930）？謝謝杰克比爾！
關於純淨之外的問題：好吧，事後看來（在純淨之外的問題是愚蠢的問題）似乎很明顯。我認為純淨性遠不那麼明顯
BlindKungFuMaster
2018-08-30 16:19:47 UTC
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值得指出的是，如果定理導致 circular 定理證明，則它們通常是不可接受的。如果學習數學，您將學習如何用引理和引理建立數學理論。這些定理及其依存關係形成有向無環圖（DAG）。

如果要求您重現某個定理的證明，並且使用“較晚”的結果，則此結果通常取決於您應證明的定理，因此，使用它不僅僅是教育所不允許的原因，它實際上會在DAG的上下文中導致不正確的證明。

從這個意義上講，研究中不可能有任何不可接受的定理，因為研究通常包括證明“最新的”定理。但是，如果發布已知結果的更短，更優雅或更漂亮的證明，則可能必須再次尋找不可接受的定理。

+1用於明確提出似乎只是隱含的內容，或在其他答案的註釋中提及的內容。我有一個朦朧的記憶，那就是標記某人在加拿大的綜合研究生考試，在那里通過訴諸Wedderburn的結構定理，證明了n×n矩陣的代數（帶有不可忽略的標記）的簡單性。
這是我心中的“正確”答案。如Nate Eldridge的評論所述，通過解釋這與l'Hopital有什麼關係將得到加強。但是DAG代表什麼？
@NoahSnyder: DAG無疑代表[有向無環圖]（https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph）。
@JW:謝謝！我原以為這是教學法或科學哲學中的技術性術語，而不是數學。
DAG的非循環位可能措詞有點粗心。具有基本相等的定理A和B足夠普遍，這樣就可以從B證明A，反之亦然。這會創建一個明顯的循環，但這並不重要。然後，至少有兩個非循環子圖將定理和證明的公理連接起來-公理是圖的根。IOW，儘管任何特定的證明都是非週期性的，但它們的結合不是。
在科學哲學中，我認為這個概念證明了循環推理的指責，有時是出於產生“範式移位”的目的。是否有一個“某某規則”來掌握這一原理（即，循環定理證明是非入門的）？
這種圓度的一個非常常見的示例（尤其是與OP的上下文有關）是使用l'Hôpital計算$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x $，而也許是“手動計算此限制”“首先找到正弦的導數可能很重要...
@elliotsvensson:我可能應該將您指向https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_reducibility，但是_axiom_這個詞在這裡已經很重要。根據定義，循環推理無法從假定公理中證明一個定理，因為它僅證明該定理是對的（如果為真），否則為假。
@MSalters:定理確實形成一個非循環圖。如果證明等價，則在定理1和定理2之間使用已證明的th1證明th2。但是，當您隨後使用th2來“證明” th1時，實際上並沒有證明th1。您無法從th2證明th1，因為您使用th1證明了th2。相反，您需要證明“ th2-> th1”。那是一個差異，相反，事實是我們傾向於掩蓋這些細微的差異，這有點粗心。（儘管我的答案的措詞當然可以在許多方面得到改進）
-1
@MSalters:當然可以提供不同的證明。但是，在講座中建立數學理論時，您只需證明一次定理。進一步的證明不能證明該定理。它們證明是等效或必然的。
Tobias Kildetoft
2018-08-29 20:05:44 UTC
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雖然研究中確實沒有不可接受的定理，但有些事情有時會設法避免。

想到兩個例子：

第一個是對有限簡單組。分類本身並沒有特別複雜，但是證明確實如此。這使得從事小組理論研究的數學家寧願盡可能避免使用它。實際上，經常在論文中明確指出是否要依靠關鍵結果。 ，但我的印像是，情況已不再如此，現在的偏愛是由於這樣一個事實，即依靠分類使結果真相的“真正原因”更加模糊，因此不太可能導致進一步的結果。

另一個例子是嘗試使用純代數方法證明所謂的Kazhdan-Lusztig猜想的巨大努力。

結果本身就是本質上是代數的，但是原始證明使用了很多非常深的幾何結果，這使得不可能將其用作不允許這種幾何結構的設置的墊腳石。

代數證明由Elias和Williamson於2012年獲得，當時他們證明了Soergel的猜想具有K azhdan-Lusztig猜想是幾種結果之一。

本證明中使用的技術僅允許了所希望的那種歸納法，首先導致了對Lusztig猜想的反駁（2013年的特徵性$ p $類似物）。 Kazhdan-Lusztig猜想），然後至少在對特徵有一些溫和假設的情況下，在2015年（對於$ A $類型）和2017年（一般）取代了Lusztig猜想。

埃里亞斯（Elias）和威廉姆森（Williamson）難道不是把KL猜想放在了代數的基礎上，還是我記錯了什麼？
@darijgrinberg他們確實做到了。我實際上是要添加的，但是在鍵入時又忘記了它。我已經添加了一些細節。
GEdgar
2018-08-29 21:55:32 UTC
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在某些情況下，研究人員限制自己不使用某些定理。示例：

Atle Selberg，“素數定理的基本證明”。 安。 （2） 50 （1949），305--313。

作者限制自己只能使用“基本”（在技術意義）方法。

其他情況可能是僅使用直尺和圓規進行幾何證明。高斯表明，可以用直尺和羅盤構造規則的257-gon。我不認為這是“已知結果的新證明”。

和傑克比爾一樣嗎？
這種情況有所不同，因為研究人員正準備顯示一個已知定理的新證明，但是比已知證明更簡單（或更優雅）。在數學上，存在一種共識，即較簡單的證明會更好（例如，由於許多原因，它們更易於檢查並且通常取決於較弱的結果），因此，即使是簡單的證明，也是原始的研究結果。與現有類型“相同類型”的證明（例如，在已知其他代數證明的情況下，更簡單的代數證明）。
@HilderVitorLimaPereira，如果我能提一點點，質數定理的基本證明被大多數研究過它的人認為，比分析證明族既簡單又不優雅。但是，它更“基本”（特別是不使用複雜分析或傅立葉分析），這也是一個非常重要且有趣的功能。當然，它的發現是一項重大的研究成果，因此從這個意義上講，您可以提出一個很好的觀點。
我看到了@DanRomik。是的，當我說“較弱的結果”時，我實際上是在考慮更多的基本結果，因為它們使用的理論不依賴於深層次的構造和其他定理，或者被認為是數學界的基礎知識。謝謝你的評論。
@HilderVitorLimaPereira可能被認為是“較弱的主張”？
Tommi
2018-08-29 20:36:55 UTC
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例如您的朋友所犯的錯誤不是使用l'Hôpital，而是缺少證明它是正確的證據。如果他說l'Hôpital是一個引理並提供足夠的基本證明，那麼講師可能不會對解決方案有任何疑問。

研究數學中發生了類似現象。有很多民俗結果，研究人員非常確定結果是正確的，並且證明結果的技術是已知的，但是沒有人碰巧寫下或至少發布了證明。例如，這些可以在偏微分方程的經典正則性理論中找到。

使用它作為工具時，是否應該提供這種結果的證明？有時人們只是簡單地提及結果而沒有明確說明。有時他們會證明它是“因為我們無法在文獻中找到證明”，即使該證明是簡單的或不是給定文章的重點。在這些情況下，沒有絕對正確的解決方案。

我認為，民俗學研究結果與研究數學中的結果一樣接近“不可接受”。人們應該謹慎對待它們，有時會證明它們，但有時也會在沒有證明的情況下使用它們。

我在Google上僅發現了3個“在文獻中找不到證據”的實例。這是[one]（http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~takumiy/papers/Ozawa-Yokota.pdf）。這實際上更常見嗎？（在非公共領域的論文中）
如果學生正在寫作業用紙，則第一段很有意義，但對於考試來說似乎有點多。但是您似乎並未解決主要問題。研究中禁止任何事情嗎？假定它是真實的。
短語示例：“證據完全是標準的，通常是針對 情況K = R [30]。我們證明了同樣的證明適用於K = C”。這兩個短語可能不一致，我無法說出它發生的頻率，但是確實發生了。
我認為，@Buffy民俗學的結果與我在此答案中表示的相似。我認為，根據評論者的不同，使用它們可能會或可能不會被接受。
@Buffy第一部分是對民間文學藝術答案的介紹。是嗎，湯米·布蘭德？
-1
好吧，當然，如果沒有得到證實，就不應使用它。但是我猜並不是真正不允許的“數學”，而是“偽數學”。我認為那根本不是一回事。
-1
實際上，除非有問題或答案提示行惡，否則我很少投票。這裡不是這種情況。我不需要最佳答案，甚至不需要我同意。但是，如果您想投反對票，請提出一些真正邪惡的建議。但是，我的評論僅是考慮其他事項和替代方案的建議。通常，我通常以評論BTW來解釋下降投票。我僅對真正真正的邪惡作例外：例如，從字面上打敗學生（在心理上或身體上）。
實際上，我認為我在這裡所做的就是與學生一起做的事情。我建議學生不要更深入，更全面地研究這個問題，而不是將答案標記為“錯誤”。當然，在紙上比考試更容易。
@BCLC:這比您想像的要普遍。僅舉一例，請參閱[“ Google學術搜索上的“是民俗學”]（https://scholar.google.co.uk/scholar?q=mathematics+“ it + is + folklore + that”）。
@user21820鏈接中的Tommi Brander是[第一篇論文，作者是Terry Tao]（https://msp.org/apde/2009/2-3/p04.xhtml），涉及“偏微分方程
@BCLC嗯...我猜是嗎？這不是精確的分類方案。你為什麼要問？
-1
您是否提到上述常規民俗的例子？
Jessica B
2018-08-29 20:12:16 UTC
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也許值得注意的是，某些結果在某種意義上是不可接受的，因為它們實際上並不是定理。一些猜想/公理是如此重要，以至於它們尚未被廣泛使用，因此被廣泛使用。依賴於這些的證明應在假設中闡明。但是，過上糟糕的一天並不難，而實際上忘記了您經常使用的東西尚未被證明，或者您以後想要使用的結果也需要它。

龐加萊（Poincare）可能是一個不好的例子，因為它是相當長一段時間以來的一個高懸賞猜想，但是讓我們假裝我使用了幾十年來已被證明的東西。現在你的答案是...？
由於研究人員實際使用的嚴格方法落後於嚴格的方法，因此在組合學和幾何學中“不幸的定理”和“猜想”之間存在（不幸的是）整個範圍。
-1
@darijgrinberg我不同意您的主張。如果某件事被認為是正確的，則無論其置信水平如何，但不是“明確的”定理（即“定理”），那麼它就是一個猜測，而不是“在明確定理和猜想之間的某個地方”。我要求您向我展示純數學論文，該論文發表在可靠的期刊上，並且使用了不同的術語。我很確定我確實了解您的意思，但是其他人可能不會，您在“定理”旁邊使用“明確”等形容詞可能會引起混亂，並導致一些人思考..。
……（錯誤地）存在“模棱兩可”定理。
@DanRomik:我想我模棱兩可。當然，這些東西在它們發表的論文中被稱為定理。但是，當您開始向人們詢問它們時，您會開始聽到eehms和uuhms。我不認為問題集中在某些作者身上-而是[特定於某些種類的組合]（https://mathoverflow.net/questions/309191），以及寫得非常清楚的人（比如說）當需要RSK或Hillman-Grassl屬性時，代數變得模糊且模糊。
@darijgrinberg好的，感謝您的澄清，我現在對您的意思有所了解。和有趣的MO問題！
epa095
2018-08-30 01:26:03 UTC
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在直覺邏輯和建構性數學中，我們嘗試證明事物時沒有排除中間定律的情況，該定律排除了數學中使用的許多常規工具。通常，在邏輯上，我們經常嘗試僅使用一組定義的公理來證明事物，這通常意味著我們不被允許遵循“正常”的直覺。尤其是當在具有不同強度的多個公理系統中證明某些東西時，您可以使某些工具僅在最後可用（功能更強大的系統），因此在較弱的系統中是不允許的。

這是一件很棒的事情，但是除非您倆都在該領域工作，否則與顧問關閉您的數學運算的部分不同。選擇公理是在縮小的空間中探索證明的另一個示例。我曾經在帶有少量公理的系統中工作，其中更多可能是正確的，但事實卻很少。好玩
同樣，從事[逆數學]（https://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_mathematics）的工作通常要求一個人的論點可以從相當薄弱的公理體系中得到證明，這會導致各種並發症，而這些並發症不會使用標準的假設集呈現。
Buffy
2018-08-29 19:34:53 UTC
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要回答您的主要問題，請否。沒有什麼是不允許的。任何顧問都會（或至少應該）允許任何有效的數學。數學上沒有什麼是不允許的，尤其是在博士研究中。當然，這意味著對龐加萊定理的接受（現已解決）。在接受證明之前，您不能依賴它。

實際上，您甚至可以根據假設撰寫論文（如果Buffy教授的大定理是正確的，那麼它就可以得出結論……）。您可以探索未證明事實的後果。有時它有助於將它們與已知結果聯繫起來，從而導致“大定理”的證明，有時還有助於導致矛盾，表明它是假的。

但是，我對您給出了在教學和檢查學生方面合適的背景知識。我質疑第一位教授拒絕學生所知道的一切的智慧。這似乎是短視的，並且把教授變成了只允許某些事情撲過去的大門。

當然，如果教授想用一種特定的技術測試學生，他可以嘗試找到這樣做的問題，但這通常也指出了考試的基本愚蠢性。還有其他方法可以確保學生學習基本技術。

大學教育不是關於與其他學生的競爭以及不公平優勢的（恐怖）問題。這是關於學習。如果教授或系統對學生進行競爭評分，那麼他們的工作就很糟糕。

如果您擁有世界上20個絕對最好的學生，並且純粹是競爭性的成績，那麼其中一半將低於平均水平。

我覺得您誤解了這個問題。
請以哪種方式@JessicaB？
@Buffy:問題實際上不是關於課程的。問題是研究生級別是否存在“不允許的”東西。
@cHao,請參見直接針對該問題的較長段落。
@Buffy:但是答案的另外2/3只是關於課堂示例。實際問題的答案很容易在噪音中迷失。
@cHao,我將其移動了一下。希望您不再反對。
@Buffy:為我工作。在這裡，進行投票。:)
“禁止”尚未研究的結果的一個原因是，它有助於避免循環邏輯。一個標準示例：要求學生證明lim_ {x-> 0} sin（x）/ x =1。學生利用L'Hôpital規則，並利用sin（x）的導數是cos（x）。但是，證明sin（x）的導數是cos（x）的通常方法需要知道lim_ {x-> 0} sin（x）/ x的值。如果您在解決原始問題時“禁止”洛皮塔爾的規則，則可以防止出現此問題。
@NateEldredge,如果您說“不使用L'Hôpital來證明” X”，那麼這是一個公平的問題。但是如果沒有那個限定詞，事後你又該如何公平地降級學生呢？我會叫“犯規”。因此，是的，如果您願意，請禁止使用，但要明確。在此設置中似乎並非如此。
好吧，您可以製定常規課程政策，以不承擔尚未證明的結果。這是非常普遍的，以至於講師可能已經假設它不言而喻。或者，降級實際上可能是出於循環邏輯的考慮，但其推理解釋得不充分或被誤解了。
-1
@Buffy但是在哪裡劃界線呢？說小組理論考試要求證明某個給定順序的小組並不簡單。應該允許學生簡單地陳述“遵循分類”，還是僅僅（在順序奇數的情況下）陳述“遵循Feit-Thompson”？
我畫線的@TobiasKildetoft,很大程度上取決於考試。但是，如果學生給出了一個明確的答案，而不僅僅是給出錯誤的答案，您可以與該學生一起探討正在發生的事情，也許還可以增進他/她的理解。使學生工作，而不僅僅是記住在高壓環境中的東西。
巴菲（Buffy），抄送@NateEldredge不使用以後的章節是一個秘密的元規則嗎？嗯，好的，我想我誤會了。教科書（Stewart）中的洛皮塔爾法則在第4章中，而考試（我忘記是第二次考試還是期中考試）最多涵蓋了第1章至第3章。在這種情況下，洛皮塔爾法則並非如此與第1-3章的主題進行了討論，然後告訴我們，考試不允許使用L'Hôpital的規則。我認為這應該很清楚，因為評論是“您尚未被允許使用L'Hôpital的規則。”再說一次
...我想即使在第1-3章的所有考試都結束之前也可以開始第4章，例如第3章在星期一結束，第4章在星期二開始，然後第3章考試在星期五。因此，可以在第3章考試之前討論L'Hôpital規則，但是第3章考試不允許L'Hôpital規則。這就是您的想法嗎？那時我可能還不清楚。在這種情況下，我可以用L'Hôpital規則代替級數或多變量極限的收斂。但這並不是問題的實質...
@BCLC,我不明白此評論。如果給出明確的規則，那麼我就沒有問題。學生也不應該。但是最初的問題並沒有這樣說。
假裝我說的是系列收斂而不是L'Hôpital的規則。您的答案會改變嗎？
抱歉，我不會推測。這已經成為無休止的爭論。它正在失去意義。請考慮一下我對考試的總體評價。
我同意@NateEldredge的立場。此問題已在[此處]（https://academia.stackexchange.com/q/80898/40589）進行了討論。
避免循環邏輯似乎是個好主意，但避開了定義問題。如果我根據冪級數或複數指數來*定義* sin（x），即使可能有深層原因，我也**顯然*為什麼我需要sin（x）/ x的極限來區分它。還是我必須先證明自己對sin（x）的定義與圓的幾何形狀有共同點，然後才能在考試中使用它？
我認為L'Hopital的規則“是唯一有害的”，並導致學生無法學習極限，而立即忘記了關於極限的所有內容，這在基本數學課程中幾乎沒有其他類似之處。因此，我認為您不能替代其他內容，也不能將其設為相同的問題。有人使用L'Hopital來說計算\ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {x ^ 2} {x}並沒有顯示出對材料的更高級的理解，而是表明他們不了解該材料！
Dmitry Savostyanov
2018-08-29 20:07:59 UTC
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我認為研究中沒有不可接受的定理，儘管顯然必須注意不要依賴尚未針對特定問題證明的假設。

但是，就博士學位而言或博士後工作，我覺得有些方法由於學術上的原因而不是真正的話題。例如，如果您獲得了研究X主題的博士學位資助，通常就不應該用它來研究Y。類似地，如果您在開發方法A的團隊中獲得了博士後，並且想要研究競爭對手的方法B， PI可能希望限制您花在B上的時間，因此它不超過您花在開發A上的時間。某些PI相當臭名昭著，在某種意義上說，它們甚至無法容忍某些方法C，因為它們重要的原因，因此，即使您有充分的學術自由去探索C方法（如果願意），在您當前的工作安排中這樣做也是“不容錯過的”。

感謝德米特里·薩沃斯托揚諾夫（Dmitry Savostyanov）！這聽起來像是我的想法，但這是用於應用研究嗎？還是用於理論研究？
即使是單純的數學運算，人們有時也會非常保護自己。應用數學領域的人們可能會非常開放。也許更多的是關於個人科學方法。
user47796
2018-08-30 14:48:35 UTC
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我將提出學術界以外的相關觀點，即商業/政府研究組織。

我遇到了受到所謂的考試心態，他們認為研究問題只能通過提供的數據集來回答，而不能參考其他數據，結果，研究等。

我發現這種考試心態極度局限，是因為研究人員或管理者對從他們（主要是基於考試的）教育中灌輸的研究存在誤解。

事實的事實是，並非以任意理由使用數據/技術/研究扼殺研究。這會導致商業組織失去獲利的機會，或者當政府出台新政策時錯失後果，或者錯失新藥等的副作用。

PsySp
2018-08-30 20:26:28 UTC
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我將在理論計算機科學和算法設計中添加一個小例子。

找到一個組合（甚至基於LP的組合）是一個非常重要的開放性問題。 ）的算法可以實現Goemans-Williamson界線（0.878）來近似多項式時間內的MaxCut問題。

我們知道，使用半定規劃技術，α的近似因子為0.878可以在poly時間內實現。但是我們可以使用其他技術來實現這一界限嗎？雄心稍小但可能同樣重要：我們能找到一種近似保證嚴格度優於1/2的組合算法嗎？

盧卡·特雷維森（Luca Trevisan）使用頻譜技術朝著這個方向取得了重要進展。

Mick
2018-08-29 19:38:47 UTC
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在研究中，您將使用最適用的方法（您知道的）來演示解決方案，並且可能還會在被問到或提供解決方案的替代方法的情況下（然後您學習一種新方法）

在“不允許” L'Hôpital規則的示例中，該問題的措詞可能更好，因為聽起來像是“解決此問題”，假設僅採用了所教的方法該課程是學生所熟知的，因此考試中只會使用該課程中講授的方法。

這個問題沒有任何歧義。直到第三或第四次考試才向我們介紹L'Hôpital的規則。我的工程師朋友正在為我們的第二次考試或期中考試或兩者都補考（我忘了）。如果這樣的課程最後講授順序，就像在基礎分析課程的第一次考試中使用連續性的順序定義一樣（就像我的一樣）
我了解這一點，但是何時引入它與學生是否可能已經知道如何使用它無關。這將是同樣的問題：“證明x ^ 2的一階導數是2x，然後告訴學生使用隱式微分求解它是不允許的，他們應該使用顯式微分。
米克，但這是一次補考。對於那些按時參加考試的學生來說是不公平的，因為我們當時不知道L'Hôpital的規則嗎？
這不是公平的。這是關於數學的基礎。通常，您應該以某種方式解決問題，以確保您了解以後的內容可以簡化或忽略的內容。如果有預期的方法，則應在說明中進行。但這是一個普遍的假設，即如果您還沒有被教過，那就還不知道。
在不否認為什麼可能不允許這樣做的其他建議的情況下，對其他學生的公平是無關緊要的。考試的目的是評估或驗證您所學的內容，而不是確定誰贏得了比賽。
Observation
2018-09-01 22:46:24 UTC
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在純數學研究中，我敢肯定，使用計算機進行蠻力逼近是不被允許的，只是一種引入對該主題的興趣的方式，以及一種可能縮小研究範圍的方式。甚至可能提出解決方案。

數學研究需要方程式來描述準確的答案，並通過建立的數學事實和定理推導證明答案是正確的。計算機近似可以使用越來越小的間隔來縮小答案範圍，但實際上並沒有達到醫院風格的無限小極限。

計算機派生的單獨區域基本上只是使已知的東西自動化。我敢肯定，在許多地方，研究人員可以自由地使用這種計算機化技術來盡可能快地記錄工作。我確信，仍然需要大量的人為指導來解決問題，引入假設並選擇嘗試哪些可用的解決方案。但是關鍵是，所有此類軟件派生都必須在任何外部審查軟件錯誤之前都經過手工驗證，並且技術必須在允許的範圍內（定理的IF部分等）。

經過這樣的手動檢查……有多少數學研究人員會相信計算機軟件的幫助？

好吧，我看到應用數學家將軟件作為一種快速檢查方法，供同事檢查1980年代工作方式的合理性。由於應用數學有時對實際結果幾乎具有工程數學的觀點，因此我認為在形式派生之後，它們仍然可以作為計算機軟件的近似值作為快速演示。我聽說應用數學有時可以解決最接近的問題，而對於精確問題的解決方案仍然可以避免。因此，計算機軟件派生又有更多的幫助空間。儘管不確定此類運籌學類型的主題是否適合每個人對數學研究的定義。

請盡量避免留下兩個單獨的答案；你應該編輯你的第一個
我發現這個答案略微遺漏了原始問題的重點，因為它似乎更多地是關於計算機的使用，而不是真正解決了OP的問題，即是否存在某些情況下人們不應該使用某些定理而做研究
Observation
2018-09-01 22:59:49 UTC
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簡而言之，是的，計算機近似技術經常以散彈槍的方式使用，以尋找解決方案上可能收斂的領域。如“給我一個提示”。尤其是在可以描述現實世界邊界的應用數學主題中。

同樣存在一個問題，即除了基本物理學之外的現實世界問題是真正的數學研究還是更為寬鬆的應用數學甚至運籌學。

但是，在從定理和證明定理到新定理的實際定理推導中，計算機更多地局限於類似於文字處理器的文檔工具。隨著文字處理器檢查散文的拼寫和語法，仍然有越來越多的工具變得越來越重要，以加快對已記錄工作的更常見方程式檢查。還有更多人類必須覆蓋或重定向的區域。

我發現此答案略有遺漏原始問題的重點，因為它似乎比使用計算機更重要
另外，不要創建兩個新的用戶身份。註冊一個可以連續使用的
tparker
2018-09-04 08:02:20 UTC
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如今，選擇公理（及其推論）在數學界已廣為接受，但您可能偶爾會遇到一些認為是“錯誤”的老派數學家，因此，任何推論都您使用選擇的公理來證明也是“錯誤的”。 （當然，選擇公理“錯誤”甚至意味著什麼，這在很大程度上是一個哲學問題。）



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