在學術界工作的任何數學家是否對如何知道他們是否能夠不斷產生新想法以進行可發表的研究發表任何評論？

我記得很奇怪在寫我的第一篇論文時就對此有所了解。這是我做過的唯一可發表的工作，我記得對自己說：“如果這是我唯一的想法，該怎麼辦？或者，如果不是變得容易，而要變得更加困難，而產生想法，又該怎麼辦，該怎麼辦？

幸運的是，產生想法並沒有聽起來那麼嚇人。在實踐中，很少坐在椅子上說“我現在將思考深刻的思想”。取而代之的是，任何深度都是從平凡的活動中衍生出來的。您閱讀論文，對事情無所事事，提出自己關心的問題，弄清楚如何進行調查，應對技術障礙，研究未意識到的事情，與同事聊天並向他們詢問問題，與合作者合作，等等。這些活動都是很自然的，而且它們都在一個複雜的網絡中相互融合。在任何階段，您都可以提出或遇到新的想法，但是它們是有機產生的，而不是您必須明確擔心的事情。

您可以期望強大的研究生課程將帶您進入指出您可以可靠地執行此操作的位置。當然，有些人會變得更快或更熟練，有些人會擁有更醒目的或富有創造力的想法，有些人會解決更重要的問題，等等。您仍然可以通過實踐和指導來改善許多因素，但是到那時，問題是有點不同。不是您是否可以進行研究，而是如何發揮研究者的全部潛能。

因此，我建議您不要對此太擔心。做研究是大多數本科生沒有的技能，但研究生院可以教授。一旦掌握了速度，產生想法就不會成為瓶頸。 [實際上，您最終將有更多的想法，而不是有時間或精力進行自我調查。這樣一來，您就可以向學生提出一些建議，以幫助他們開始研究，而不必擔心您會浪費自己進行研究所需的有限資源。]

但是，鑑於機會成本研究生的學歷很高，而且我已經有一份穩定，高薪的工作，在開始之前，我想知道自己是否具備成為數學教授的才能和能力。

做好研究是必要的，但不足以在研究型大學找到工作。評估人才和預測職業成功是很困難的，但是獲得粗略估計的一種方法是查看過去在職學生的情況。當您考入研究生院時，​​您可以查找您正在考慮的顧問的以前的學生，看看他們發生了什麼。例如，您可以使用數學家譜計劃查找學生名單，然後可以在網上搜索他們。這當然不是完美的：有些顧問還沒有很多學生，工作市場隨著時間的推移而變化，有些以前的學生只是不能代表您的情況（如果潛在的顧問曾經在名聲不太高的學校就讀，那麼來自那所學校並不那麼重要），等等，當然總會有隨機變化。但是，它將給您一個大概的印象。如果您正在考慮的顧問有很多學生找到了您想要的工作，那麼也許您也會這樣做。如果他們中只有極少數找到工作，您會覺得可以接受，那麼您承擔的風險就更大。

我和你的處境相同。

我很幸運，我住在一個數學系很棒的城市。我選擇了一個看起來很有趣的研究生課程，然後問教授我是否可以參加他的課程。他表示同意，我也同意了–包括所有作業和一個學期項目。他給我留下了深刻的印象，給我寫了一封關於研究生的備考信，我有幸獲得成功-我現在是數學教授。

如果可能的話，我絕對會建議您這樣做。

此外，我建議您將這個問題問給任何會寫您的推薦信的人，因為他們熟悉數學研究生院取得成功的條件。 （如果不是，那麼您可能不希望收到他們的來信。）如果他們認為您足夠強大，可以被頂尖程序接受並獲得成功，那麼這是一個很好的信號。

您可以考慮只申請一流（例如前25名）研究生課程來對沖您的賭注。您也可以在二線學校獲得出色的研究生教育-的確，我是這樣一所學校的教授-但是，如果您從這樣的學校畢業，並且您不介意未來的前景，您將面臨更大的困難被無處接納，那麼要有高度的選擇性是部分減輕長期風險的一種方法。

最後，您可能會研究在一個不太知名的機構（例如區域分支機構）工作的感覺州立大學的校園。您會喜歡目前的工作嗎？該問題的答案應該可以告訴您您願意承擔多少風險。

祝您好運！

問題的一方面是您是否願意搬家。即使只針對“僅”中低端研究型大學，也有很多比職位更好的申請者，如果您想結束某個特定領域的工作，那麼找不到工作的風險就會非常高。因此，要想獲得更高的賠率，您應該準備好在某個地方獲得博士學位，在不同的地方做幾個博士後，然後（希望）在另一個地方被聘用。

關於您的恐懼長期從事數學研究的能力，我想說的是，如果您設法找到這樣的工作，那麼您肯定會具備所需的能力。當然，我們中的一些人鬆了他們的路，但這通常是由於特定事件以及他們處理它的方式所致。在所有情況下，我都知道，在他們任職之時，沒有人看到他們之間以及最終更成功的同事之間的差異。